Encontramos a probabilidade dividnido os casos favoráveis (maneiras de escolher 1 mulher e 1 homem) pelos casos possíveis (todas as maneiras de escolher 2 pessoas). Seu cálculo, portanto, envolve duas questões de análise combinatória, uma para o numerador (cálculo do número de casos favoráveis) e uma para o denominador (cálculo de número de casos possíveis).
Muitas vezes nesses cálculos é indiferente considerar se a ordem de escolha importa ou não. O importante é manter a coerência, por exemplo, se no numerador consideramos que a ordem importa, então no denominador também devemos considerar que a ordem de escolha importa.
1a solução: a ordem não importa.
A quantidade de casos favoráveis é o número de maneiras para escolher um homem e uma mulher.
Como a ordem não importa, podemos fixar a ordem de escolha, por exemplo, considerando que a primeira pessoa escolhida é homem e a segunda pessoa escolhida é mulher.
Para a primeira escolha, temos 80 opções, pois são 80 homens.
Para a segunda escolha, temos 120 opções, as 120 mulheres.
| 1a escolha |
2a escolha |
| 80 |
120 |
Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) existem 80×12080×120 casos favoráveis.
O número de
casos possíveis é a quantidade de maneiras de escolher quaisquer 2 pessoas.
Como são 120 mulheres e 80 homens, existe um total de 120+80=200120+80=200 clientes.
Como a ordem não importa e não há reposição, estamos em um caso de combinação. O número de casos possíveis é dado pela combinação de 200 pessoas tomadas 2 a 2:
C200,2=200×1992C200,2=200×1992
A probabilidade é dada pela divisão dos 80×12080×120 favoráveis com os 200×1992200×1992 casos possíveis:
80×120200×199280×120200×1992
Simplificando essa expressão, obtemos:
9619996199
Não há alternativa correta e a questão devia ter sido anulada.
2a solução: a ordem importa.
Casos favoráveis.
Primeiramente fixamos a ordem: a primeira pessoa escolhida é homem e a segunda pessoa é mulher.
Vimos acima que as maneiras de realizar essa escolha vale 80×12080×120.
Mas agora estamos considerando que a ordem de escolha importa, e temos um total de 2 ordens possíveis:
- HM (primeira pessoa é homem e segunda pessoa é mulher)
- MH (primeira pessoa escolhida é mulher e a segunda é homem)
Para cada uma dessas sequências há 80×12080×120 possibilidades, então para as duas sequências existem:
2×80×1202×80×120 casos favoráveis.
Casos possíveis.
O número de casos possíveis é a quantidade de maneiras de escolher quaisquer 2 pessoas.
Como são 120 mulheres e 80 homens, existe um total de 120+80=200120+80=200 clientes. Portanto, temos 200 maneiras de escolher a 1a pessoa.
Para a escolha da segunda pessoa, restam 200−1=199200−1=199 opções, já que 1 das 200 pessoas já foi escolhida.
Aplicando o PFC, são 200×199200×199 casos possíveis.
Probabilidade.
A probabilidade é dada pela divisão dos 2×80×1202×80×120 casos favoráveis com os 200×199200×199 casos possíveis:
2×120×80200×1992×120×80200×199
Simplificando essa expressão, obtemos:
9619996199
Gabarito preliminar: Letra D.
Gabarito Proposto pelo Professor: Anulada.
14) Considere a proposição:
“Todo pesquisador é estudioso.”
Assinale a alternativa que não apresenta uma negação da proposição anterior.
a) Existe algum pesquisador que não é estudioso
b) Algum pesquisador não é estudioso
c) Pelo menos um pesquisador não é estudioso
d) Existe pesquisador que não é estudioso
e) Nenhum pesquisador é estudioso
Temos a seguinte afirmação: "
Todo pesquisador é estudioso ".
Quando essa afirmação é falsa?
Quando houver pelo menos um pesquisador que não é estudioso.
Portanto, a negação da proposição do enunciado é "pelo menos um pesquisador não é estudioso".
Essa opção está nas letras A, B, C e D:
Existe algum pesquisador que não é estudioso (letra A)
Algum pesquisador não é estudioso (letra B)
Pelo menos um pesquisador não é estudioso (letra C)
Existe pesquisador que não é estudioso (letra D)
Já a letra E ( Nenhum pesquisador é estudioso ) está incorreta.
Gabarito: Letra E.
Segunda solução.
A frase " Todo pesquisador é estudioso " significa que o conjunto de pesquisadores está contido no conjunto de pessoas que são estudiosas, e pode ser representada assim:
Em que a área hachurada representa a ausência de elementos na região.
Queremos negar essa proposição. Logo, há sim algum elemento na região anteriormente hachurada:
No diagrama acima, o "xx" representa a existência de pelo menos um elemento na região.
Logo, existe pelo menos um pesquisador que não é estudioso. Estão corretas as letras A, B, C e D.
Na figura acima enumeramos as diferentes regiões do diagrama.
Não sabemos se a região 3 possui ou não elementos. Assim:
- não podemos afirmar que existem pesquisadores que são estudiosos (ou seja, há elementos na região 3)
- também não podemos afirmar que nenhum pesquisador é estudioso (região 3 sem elementos)
A alternativa E ( Nenhum pesquisador é estudioso ) está incorreta.
Gabarito: Letra E.
"Maria viaja para o Rio de Janeiro
se e somente se Fernando viaja para São Paulo" é um bicondicional do tipo:
a↔ba↔b
Em que:
- aa: Maria viaja para o Rio de Janeiro
- bb: Fernando viaja para São Paulo
Um bicondicional "a↔ba↔b" somente é verdadeiro quando as duas parcelas têm valores lógicos iguais.
Portanto, a negação de um bicondicional somente será verdadeira quando ocorrer o contrário: uma parcela é V e a outra é F.
Esse é o mesmo resultado da disjunção exclusiva "a∨−−ba∨_b": é verdadeira quando uma parcela é V e a outra é F. E o mesmo ocorre com a disjunção exclusiva ¬a∨−−¬b¬a∨_¬b.
Assim, as proposições "¬(a↔b)¬(a↔b)" , "a∨−−ba∨_b" e "¬a∨−−¬b¬a∨_¬b" são equivalentes, possuem a mesma tabela verdade:
| a a |
b b |
¬(a↔b)¬(a↔b) |
a∨−−ba∨_b |
¬a∨−−¬b¬a∨_¬b |
| V |
V |
F |
F |
F |
| V |
F |
V |
V |
V |
| F |
V |
V |
V |
V |
| F |
F |
F |
F |
F |
Vimos que a negação de bicondicional "a↔ba↔b" equivale a uma disjunção exclusiva exposta na letra C:
a∨−−ba∨_b.
Ou Maria viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando viaja para São Paulo
Equivale também à disjunção exclusiva exposta na letra D:
¬a∨−−¬b¬a∨_¬b
Ou Maria não viaja para o Rio de Janeiro ou Fernando não viaja para São Paulo
Há duas alternativas corretas e a questão deve ser anulada.
Gabarito preliminar: Letra C.
Gabarito Proposto pelo Professor: Anulada.
16) Observe as duas proposições P e Q apresentadas a seguir.
P: Ana é engenheira.
Q: Bianca é arquiteta.
Considere que Ana é engenheira somente se Bianca é arquiteta e, assinale a alternativa correta.
a) Ana ser engenheira não implica Bianca ser arquiteta
b) Ana ser engenheira é condição suficiente para Bianca ser arquiteta
c) Uma condição necessária para Bianca ser arquiteta é Ana ser engenheira
d) Ana é engenheira se e somente se Bianca não é arquiteta
e) Uma condição necessária para Bianca ser arquiteta é Ana não ser engenheira
No condicional, "se" aponta para o antecedente, e o "somente se" aponta para o consequente.
Portanto, a proposição:
Ana é engenheira somente se Bianca é arquiteta
Equivale a:
Se Ana é engenheira, então Bianca é arquiteta.
O antecedente (Ana é engenheira) é a condição suficiente, e o consequente (Bianca é arquiteta) é a condição necessária.
Aqui a dica para memorizar qual a condição suficiente é notar que, no conectivo "se ... então", a palavra "se", que começa com a letra "s", aponta para a condição suficiente, que também começa com "s":
Se aSuficienteSe a⏟Suficiente, então bb
Se Ana é engenheiraSuficienteSe Ana é engenheira⏟Suficiente, então Bianca é arquiteta
Está correta a letra B, Ana ser engenheira é condição suficiente para Bianca ser arquiteta.
17) Conjunções são proposições compostas em que há a presença do conectivo “e” e podem ser representadas pelo símbolo “^”. Sendo assim, assinale a alternativa correta.
a) Se P é verdadeira e Q é verdadeira, então P^Q é falsa
b) Se P é verdadeira e Q é falsa, então P^Q é falsa
c) Se P é falsa e Q é falsa, então P^Q é verdadeira
d) Se P é falsa e Q é verdadeira, então P^Q é verdadeira
e) P^Q só será verdadeira se P e Q forem falsas
A conjunção entre 2 proposições "PP" e "QQ" somente é verdadeira quando "PP" e "QQ" forem verdadeiros. É o que mostra a tabela verdade abaixo:
| linha |
P P |
Q Q |
P∧Q P∧Q |
| 1 |
V |
V |
V |
| 2 |
V |
F |
F |
| 3 |
F |
V |
F |
| 4 |
F |
F |
F |
Vejamos as alternativas.
a) Se P é verdadeira e Q é verdadeira, então P^Q é falsa
Quando as parcelas são verdadeiras, a conjunção é verdadeira, como mostra a linha 1 da tabela acima.
b) Se P é verdadeira e Q é falsa, então P^Q é falsa
Correto. Quando existe parcela F, a conjunção é F.
Por exemplo, se P é verdadeira e Q é falsa, então P^Q é falsa.
c) Se P é falsa e Q é falsa, então P^Q é verdadeira
d) Se P é falsa e Q é verdadeira, então P^Q é verdadeira
Letras C e D incorretas, quando existe parcela F, a conjunção é F.
e) P^Q só será verdadeira se P e Q forem falsas
Falso, a conjunção somente é V quando ambas as parcelas forem verdadeiras.
